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You've issues with displaying the landing page as I understand correctly, 

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So if you log in the site, you'll be redirected to the Activity page or the main page, depending on whether you've the Activity plugin enabled.

Please clarify your question if I misunderstood you.

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Die Landing Page funktioniert wohl nicht (wenn nicht angemeldet), wenn Du Deine Elgg-Seite als Walled Garden-Seite betreibst, wodurch nur angemeldete Besucher auf die Seiten (und Inhalte) zugreifen können. Beispielweise könnte das Landing Page-Plugin die neuesten Mitglieder und Gruppen nicht darstellen, weil der Zugriff auf diese Infos den Mitgliedern vorbehalten ist, sofern nicht explizit im Code des Plugins abgefangen. Die Landing Page / Index-Seite im Walled Garden wird auch durch andere View-Files erzeugt, die das Landing Page-Plugin wohl auch nicht ersetzt. Daher siehst Du die unveränderte Startseite von Elgg (mit dem entsprechenden Default-Hintergrundbild).

Das Plugin geht wohl auch wirklich nicht mit dem Custom Index (aka Frontpage)-Plugin von Elgg. Eine mögliche Alternative wäre das Widget Manager-Plugin zu verwenden (https://elgg.org/plugins/384604) und am besten noch das dazugehörige Widget Pack-Plugin (https://elgg.org/plugins/3122035). Ich weiss leider nicht, diese beiden Plugins zusammen mit dem Landing Page-Plugin verwendet werden können. Mit dem Widget Manager Plugin, hast Du unter anderem auch die Möglichkeit, eine Indexseite (Homepage / Landing Page) direkt auf Deiner Seite im Browser einzurichten. Die Seite setzt sich dann aus Widgets zusammen. Du kannst auch unterschiedliche Indexseiten für angemeldete und nicht angemeldete User einrichten.